高频错题 50 道 · 老师详解版

初一数学 · 有理数（第一、二章）· 四位学生作业中反复出现的错题

共 50 题6 类考点答案已逐题复算孔同学 17 题 · 李同学 15 题 · 陆同学 10 题 · 姚同学 8 题

题号速查

0102030405060708091011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950
数的分类 5 题相反数 · 倒数 · 绝对值 6 题数轴 · 绝对值最值 9 题有理数运算 18 题正负数应用 8 题规律 · 进制 4 题
01
数的分类

整数与正数的区别：0 归哪一边

来源：孔同学 · 作业日期 09-02 · 原题 第9题第2空

是整数而不是正数的数是________________。

答案
0 和所有的负整数（也就是“非正整数”）

图解

有理数整数分数正整数0负整数正分数负分数
绿色部分：整数里“不是正数”的那一部分。

详解

  1. 整数分三类：正整数、0、负整数。
  2. “不是正数”的意思是：不能大于 0，所以只能是负数或 0。
  3. 在整数里同时满足“整数”和“不是正数”的，是 0 和 负整数。

易错提醒

最常见的错误：只答“负整数”或“负数”。0 是整数，而且 0 既不是正数也不是负数，必须算上。

也不能答“负数”：−0.5 是负数，但它不是整数。

02
数的分类

有理数分类 · 个数推理

来源：孔同学 · 作业日期 09-02 · 原题 第12题

10 个互不相同的有理数中，有 6 个整数、6 个正数。

其中正分数与负分数的个数相等，负数不超过 3 个。

求负整数的个数。

答案
1 个（而且这 10 个数里恰有一个 0）

图解

+分+分+整+整+整+整0−整−分−分正数 6 个整数 6 个（正整数 4 + 0 + 负整数 1）负数 3 个
圆圈里：+分＝正分数，+整＝正整数，0，−整＝负整数，−分＝负分数。分数共 4 个（首尾各 2 个），正负分数个数相等。

详解

  1. 分数个数：10−6 = 4 个；正分数＝负分数，所以各 2 个。
  2. 正数共 6 个，其中正分数 2 个，所以正整数  = 6−2 = 4 个。
  3. 整数共 6 个  =  正整数 4 + 0 的个数 + 负整数个数，所以“0 的个数 + 负整数个数 = 2”。
  4. 负数  =  负整数 + 负分数  =  负整数 + 2，且不超过 3，所以负整数 ≤ 1。
  5. 0 只能有 0 个或 1 个（互不相同）。要凑够 2，只能 0 有 1 个、负整数 1 个。
  6. 核对：4 正整数 + 1 个 0 + 1 负整数 + 2 正分数 + 2 负分数  = 10 ✓。

易错提醒

容易忘了 0：0 也是整数，却不是正数也不是负数。直接用“6−4=2”当负整数，就漏掉了 0 占的名额。

03
相反数 · 倒数 · 绝对值

倒数 · 几个“特殊的数”

来源：孔同学 · 作业日期 10-04 · 原题 10月3日·一·4

倒数等于它本身的有理数是________________。

答案
1 和 −1

图解

条件满足条件的数
相反数等于它本身0
倒数等于它本身1 和 −1
绝对值等于它本身0 和正数（非负数）
绝对值等于它的相反数0 和负数（非正数）
分清这四句话，是填空、选择的常客。

详解

  1. 乘积为 1 的两个数互为倒数，即 a·1a = 1。
  2. 设这个数为 a，倒数等于它本身，就是 a·a = 1，即 a2 = 1。
  3. 所以 a = 1 或 a = −1。验证：1 × 1 = 1，(−1) × (−1) = 1 ✓。
  4. 0 没有倒数（0 乘任何数都是 0，不会等于 1），不用考虑。

易错提醒

只写 1，漏掉 −1。“等于它本身”类题目，把正数、负数、0 各检查一遍就不会漏。

不要和“相反数等于它本身是 0”混起来，见下表。

04
数的分类

判断整数：先化简，再判断

来源：李同学 · 作业日期 10-04 · 原题 二、第2题 整数

从下列各数中，写出所有整数：

−13，+4，−6.1，0，5.4，−168，317，−6，220，227，0.01，−36，−10%

答案
+4，0，−168（= −2），−6，220，−36，共 6 个

图解

−13 分数+4 整数−6.1 小数0 整数5.4 小数−168＝−2 整数317 带分数−6 整数220 整数227 分数0.01 小数−36 整数−10% 百分数
绿色＝整数（6 个），灰色＝不是整数（7 个）。

详解

  1. 整数 = 正整数、0、负整数。判断前，先把数化到最简。
  2. −168 = −2，是整数：长得像分数，其实能约成整数。
  3. 227≈3.14 不是整数；317 是带分数，也不是整数；−13 是分数。
  4. −6.1、5.4、0.01 是小数，−10% = −0.1 是百分数，都不是整数。
  5. 所以整数是：+4、0、−168、−6、220、−36，共 6 个。

易错提醒

−168 一定要先约分再判断；+4 前面的“+”不影响，它就是正整数 4；别漏了 0。

小数、百分数、带分数，只要不能化成整数，就一律不是整数。

05
数的分类

有理数与小数的关系 · 概念判断

来源：李同学 · 作业日期 10-06 · 原题 练习1 第2题

判断下列说法，写出所有正确说法的序号。

① 有理数都是有限小数。

② 有限小数都是有理数。

③ 无理数都是无限小数。

④ 无限小数都是无理数。

⑤ 有理数包括整数和分数。

答案
②③⑤

图解

有理数（能写成分数）有限小数0.5，2.75无限循环小数0.333… ＝ 1/3无理数无限不循环小数π，0.1010…
有限小数、无限循环小数都是有理数；只有“无限不循环”才是无理数。

详解

  1. ① 错。13 = 0.333… 是无限循环小数，但它是有理数。有理数 = 有限小数 + 无限循环小数。
  2. ② 对。有限小数都能写成分数，例如 0.25 = 14。
  3. ③ 对。无理数是无限不循环小数，当然是无限小数。
  4. ④ 错。无限小数分两类：循环的是有理数，不循环的才是无理数。
  5. ⑤ 对。有理数按“整数、分数”来分，这是分类的第一种方法。

易错提醒

①④ 是最典型的两个陷阱：“无限”不等于“无理”，只有“无限不循环”才是无理数。

06
相反数 · 倒数 · 绝对值

绝对值的性质：|a| = −a

来源：陆同学 · 作业日期 09-16 · 原题 第6题

若 |a| = −a，则 a 一定是哪类数？

答案
a 是非正数，即 a ≤ 0（负数或 0）

图解

−4−3−2−1012340a 在阴影处
紫色阴影：a ≤ 0（含 0）。

详解

  1. 绝对值的意义：a ≥ 0 时 |a| = a；a ≤ 0 时 |a| = −a。
  2. 题目给的是 |a| = −a，对应第二种情形，所以 a ≤ 0。
  3. 检验：a = 0，|0| = 0 = −0 ✓；a = −3，|−3| = 3 = −(−3) ✓；a = 2，|2| = 2≠−2 ✗。

易错提醒

只答“负数”，会漏掉 0。口诀：|a| = a ⟺ a ≥ 0；|a| = −a ⟺ a ≤ 0。等号两边 0 都成立，所以 0 要算进去。

07
相反数 · 倒数 · 绝对值

符号讨论：a/|a| 只看 a 的正负

来源：李同学 · 作业日期 10-05 · 原题 册039 第15题(1)

已知 a、b 为有理数，且 ab > 0，求下式所有可能的值：

a|a|+b|b|

答案
2 或 −2

图解

ababa/|a|b/|b|和
++> 0 ✓112
−−> 0 ✓−1−1−2
+−< 0 ✗——舍去
−+< 0 ✗——舍去
只有“同号”满足 ab>0。

详解

  1. ab > 0 说明 a、b 同号：同为正，或同为负。
  2. 同为正：|a| = a，|b| = b，所以 a|a| = 1，b|b| = 1，和为 2。
  3. 同为负：|a| = −a，所以 a|a| = −1，同理 b|b| = −1，和为 −2。
  4. 所以所有可能的值是 2 或 −2。

易错提醒

只写 2：把“ab > 0”当成了“a、b 都是正数”。乘积为正有两种来源：同正、同负。

记住：a|a| 的值只取决于 a 的符号，正数得 1，负数得 −1。

08
相反数 · 倒数 · 绝对值

符号讨论：三个数的乘积为正

来源：李同学 · 作业日期 10-05 · 原题 册039 第15题(2)

已知 a、b、c 为有理数，且 abc > 0，

求下式所有可能的值：

a|a|+b|b|+c|c|

答案
3 或 −1

图解

负数个数abc和
0（+ + +）> 0 ✓3
1（− + +）< 0 ✗舍去
2（− − +）> 0 ✓−1
3（− − −）< 0 ✗舍去

详解

  1. a|a| 是 a 的“符号数”：正数得 1，负数得 −1。
  2. abc > 0 ⟺ 负数的个数是偶数（0 个或 2 个）。
  3. 0 个负数：1+1+1 = 3。
  4. 2 个负数：(−1)+(−1)+1 = −1。
  5. 1 个负数、3 个负数会使 abc < 0，要舍去。

易错提醒

漏掉“两负一正”也满足 abc > 0。口诀：乘积为正 ⟺ 负因数个数是偶数；乘积为负 ⟺ 负因数个数是奇数。

09
相反数 · 倒数 · 绝对值

绝对值不等式 · 整数解

来源：陆同学 · 作业日期 09-14 · 原题 技能训练第6（3）题

c 为整数，且 2.2 < |c| < 5.6。

写出 c 的所有可能值。

答案
c = ±3，±4，±5（共 6 个）

图解

−7−6−5−4−3−2−101234567345−3−4−5
阴影：到原点的距离在 2.2 到 5.6 之间；实心点是整数解。

详解

  1. |c| 表示 c 到原点的距离，距离要大于 2.2 且小于 5.6。
  2. c 是整数，所以 |c| 也是整数，只能取 3、4、5。
  3. |c| = 3 时 c = ±3；|c| = 4 时 c = ±4；|c| = 5 时 c = ±5。

易错提醒

只写 3、4、5，漏掉负数。每个正的绝对值对应两个数（0 除外）。

端点 2 和 6 都不在范围内：它们不满足 2.2 < |c| < 5.6。

10
数的分类

判断整数：带分数、百分数

来源：姚同学 · 作业日期 09-05 · 原题 右页第4题：整数集合

从下列各数中，写出所有整数：

−2.5，0，212，2026，−35%，0.6

答案
0，2026

图解

−2.5 小数0 整数2½ 带分数2026 整数−35% 百分数0.6 小数

详解

  1. −2.5 和 0.6 是小数，不是整数。
  2. 212 是带分数，等于 2.5，不是整数。
  3. −35% = −0.35，不是整数。
  4. 0 和 2026 是整数。

易错提醒

带分数 212 虽然有整数部分 2，但整个数是 2.5，判断整数要看整个数的值。

11
数轴 · 绝对值最值

两个绝对值之和的最小值

来源：李同学 · 作业日期 09-05 · 原题 2.3 第12题④

求下式的最小值，并写出此时 x 的取值范围：

|x+1|+|x−4|

答案
最小值 5，当 −1 ≤ x ≤ 4 时取到

图解

−3−2−10123456PAPBA −1B 4P(x)
P 在 A、B 之间时，PA + PB = AB = 5。
−4−20246036912最小值 5
函数图象：−1 ≤ x ≤ 4 这一段是“平底”，最低点高度 5。

详解

  1. |x+1| = |x−(−1)| 表示数轴上点 P(x) 到 A(−1) 的距离；|x−4| 表示 P 到 B(4) 的距离。
  2. 所求就是 PA+PB 的最小值。
  3. P 在线段 AB 外时 PA+PB > AB；P 在线段 AB 上（含端点）时 PA+PB = AB。
  4. AB = 4−(−1) = 5，所以最小值是 5，此时 −1 ≤ x ≤ 4。
  5. 验证：x = 0 时 1+4 = 5 ✓；x = 5 时 6+1 = 7 > 5。

方法口诀

口诀：|x−a|+|x−b| 的最小值是 |a−b|，在 a、b 之间（含端点）取到。

易错提醒

把 x 当成某一个具体的数，只写“x = −1 或 4”。两个绝对值之和取最小，取到的是一整段：−1 ≤ x ≤ 4，两个端点也能取。

|x+1| 要先改写成 |x−(−1)|，才读得出对应的点是 −1。

12
数轴 · 绝对值最值

数轴上到原点的距离

来源：李同学 · 作业日期 10-03 · 原题 国庆练习1 第3题

数轴上点 A 到原点的距离为 4 个单位长度。

点 A 表示的数是多少？

答案
4 或 −4

图解

−6−5−4−3−2−1012345644A₁ −4A₂ 4O

详解

  1. 到原点距离为 4 的点，在原点的两侧各有一个。
  2. 原点右边 4 个单位：表示 4；左边 4 个单位：表示 −4。
  3. 用绝对值写：|a| = 4 ⟹ a = ±4。

易错提醒

只写 4。“距离”没有方向，所以到原点距离为 4 的点有两个。

13
数轴 · 绝对值最值

多个绝对值之和的最小值：取正中间的点

来源：李同学 · 作业日期 10-03 · 原题 国庆练习1 第24题(4)

当 x 取何值时，下式取得最小值？

|x−1|+|x−2|+…+|x−2019|

答案
x = 1010（此时最小值为 1 019 090）

图解

123100910101011201720182019⋯⋯x = 1010（正中间）两头配对：每一对都在两点之间取最小
2019 个点，从两头向中间两两配对，剩下最中间的 1010。所有配对同时取到最小，只能 x = 1010。

详解

  1. |x−k| 是点 x 到点 k 的距离，所以整个式子是“x 到 1, 2, 3, …, 2019 这 2019 个点的距离之和”。
  2. 两头配对：|x−1|+|x−2019| ≥ 2018（x 在 1 到 2019 之间取等）；|x−2|+|x−2018| ≥ 2016（x 在 2 到 2018 之间取等）；……；|x−1009|+|x−1011| ≥ 2（x 在 1009 到 1011 之间取等）。
  3. 中间单独剩下 |x−1010| ≥ 0，只有 x = 1010 时取等。
  4. 所有等号要同时成立，所以 x = 1010。
  5. 最小值  = 2018+2016+…+2 = 2 × (1+2+…+1009) = 1009 × 1010 = 1 019 090。

方法口诀

到一排点的距离之和最小：点数是奇数 → 取正中间那个点；点数是偶数 → 取中间两点之间的任意位置。

易错提醒

不要用 2019 ÷ 2 去估：2019 个点正中间是第 1010 个，也就是 (1+2019) ÷ 2 = 1010。

14
数轴 · 绝对值最值

相反数 · 数轴上两点的距离

来源：李同学 · 作业日期 10-05 · 原题 Day5 二6

a、b 互为相反数，它们在数轴上对应的两点

相距 6 个单位长度。求 a 的所有可能值。

答案
a = 3 或 a = −3

图解

−5−4−3−2−1012345相距 633a 或 bb 或 aO
a、b 位于原点两侧，各自到原点的距离是 6 的一半，即 3。

详解

  1. 互为相反数的两个数，在数轴上位于原点两侧，到原点的距离相等。
  2. 设它们到原点的距离都是 d，则两点相距 2d = 6，所以 d = 3。
  3. 即 |a| = 3，a = 3 或 a = −3（对应 b 分别为 −3 或 3）。

易错提醒

把“相距 6”直接当成 a = 6：6 是两点之间的总距离，每个点到原点只有一半，即 3。

a 有两个值，因为 a、b 的位置可以互换。

15
数轴 · 绝对值最值

数轴平移 · 分类讨论并检验

来源：李同学 · 作业日期 10-05 · 原题 册038 第8题

数轴上点 A 向右移动 1 个单位长度得到点 B，

点 B 再向右移动 2 个单位长度得到点 C。

A、B、C 分别表示 a、b、c，且 abc < 0。

若三数之和等于其中一个数，求 a 的所有可能值。

答案
a = −12

图解

−2−10123+1+2abc
a = −1/2 时，a、b、c 依次是 −1/2、1/2、5/2。
和 =abcabc结果
a−2−112 > 0✗
b−3/2−1/23/29/8 > 0✗
c−1/21/25/2−5/8 < 0✓
三种情况逐个检验。

详解

  1. 由题意：b = a+1，c = b+2 = a+3。三数之和  = a+(a+1)+(a+3) = 3a+4。
  2. “和等于其中一个数”要分三种情况：① 3a+4 = a ⟹ a = −2；② 3a+4 = a+1 ⟹ a = −32；③ 3a+4 = a+3 ⟹ a = −12。
  3. 逐个代回检验 abc < 0：① (−2)(−1)(1) = 2 > 0 ✗；② (−32)(−12)(32) = 98 > 0 ✗；③ (−12)(12)(52) = −58 < 0 ✓。
  4. 所以只有 a = −12。验证：−12+12+52 = 52 = c ✓。

易错提醒

两个坑：① “等于其中一个数”有三种可能，必须分类讨论；② 解出的 a 要回头检验 abc < 0，不满足的要舍去（本题舍去了两个）。

16
数轴 · 绝对值最值

数轴上两点间的距离公式

来源：陆同学 · 作业日期 09-16 · 原题 第25(2)题

用含 x 的式子表示：

数轴上表示 x 的点与表示 −2 的点之间的距离。

答案
|x + 2|

图解

−5−4−3−2−101234|x+2| = 3= 2−2x = 1x = −4

详解

  1. 数轴上两点 a、b 之间的距离是 |a−b|。
  2. 这里两点是 x 和 −2：|x−(−2)| = |x+2|。
  3. 检验：x = 1 时距离是 3，|1+2| = 3 ✓；x = −4 时距离是 2，|−4+2| = 2 ✓。

易错提醒

写成 |x−2|：那是到 2 的距离，符号弄反了。减的是 −2，化简后变成 +2。

写成 x+2（没有绝对值）：当 x < −2 时结果是负数，而距离不可能是负数。

17
数轴 · 绝对值最值

两个绝对值之差的最大值

来源：陆同学 · 作业日期 09-16 · 原题 第25(5)题

求下式的最大值：

|x−1|−|x+2|

答案
最大值是 3（当 x ≤ −2 时取到）

图解

−5−4−3−2−101234PBAB = 3PA = PB + ABB −2A 1P
P 在 B 左侧时，PA − PB = AB = 3。
−4−2024−4−2024最大值 3
x ≤ −2 时图象是水平线，高度 3，就是最大值。

详解

  1. 设 A(1)，B(−2)，P(x)，则 |x−1| = PA，|x+2| = PB，式子  = PA−PB。
  2. P 在 B 左侧（x ≤ −2）时，PA = PB+AB，所以 PA−PB = AB = 3，这是最大值。
  3. P 在 A 右侧（x ≥ 1）时差是 −3，是最小值；在 A、B 之间时，差在 −3 与 3 之间。
  4. 代数验证（x ≤ −2）：|x−1| = 1−x，|x+2| = −x−2，所以 (1−x)−(−x−2) = 3 ✓。

易错提醒

“和”求最小、“差”求最值，别搞反。|x−a|−|x−b| 的范围是 [−|a−b|, |a−b|]，本题 −3 ≤ 式子 ≤ 3。

18
数轴 · 绝对值最值

三个绝对值之和的最小值

来源：陆同学 · 作业日期 09-23 · 原题 第25题(3)第1空

当 x 取何值时，y 取得最小值？

y = |x+1|+|x−1|+|x−3|

答案
x = 1（此时 y 的最小值为 4）

图解

−3−2−101234522A −1B 1（中间）C 3
x = 1 时三段距离是 2、0、2，合计 4。
−3−113504812最小值 4（x = 1）
函数图象：最低点只有一个，在 x = 1 处。

详解

  1. y 是 P(x) 到 A(−1)、B(1)、C(3) 三点的距离之和。
  2. 三个点（奇数个）→ 取正中间的点 B(1)，所以 x = 1。
  3. 道理：x 在 −1 与 3 之间时，|x+1|+|x−3| = 4 是定值；再让 |x−1| 最小（等于 0），所以 x = 1。
  4. 最小值 y = |1+1|+|1−1|+|1−3| = 2+0+2 = 4。

易错提醒

三个绝对值不能像两个那样“一整段都行”：最小值只在中间那个点取到。

读清题目问什么：问的是 x 的值（1），不是 y 的最小值（4）。

19
数轴 · 绝对值最值

绝对值之差取最大时 x 的范围

来源：陆同学 · 作业日期 09-23 · 原题 第25题(4)第1空

求使下式取得最大值时 x 的取值范围：

|x+1|−|x−3|

答案
x ≥ 3（最大值为 4）

图解

−3−2−10123456AB = 4PBPA = AB + PBA −1B 3P
P 在 B 右侧时，PA − PB = AB = 4。
−3−1135−4−2024最大值 4
x ≥ 3 时图象是水平线，高度 4，就是最大值。

详解

  1. 记 A(−1)，B(3)，P(x)：式子  = PA−PB。
  2. P 在 B 右侧（含 B）时，PA = PB+AB，所以 PA−PB = AB = 4，取得最大值。
  3. P 在 A 左侧时差是 −4（最小）；在 A、B 之间时，差从 −4 逐渐增大到 4。
  4. 所以最大值是 4，x 的取值范围是 x ≥ 3。验证：x = 5 时 6−2 = 4 ✓；x = 0 时 1−3 = −2。

易错提醒

端点 x = 3 能取到（|4|−0 = 4），所以答 x ≥ 3，不是 x > 3。这类题要答“范围”，不能只写 x = 3。

20
相反数 · 倒数 · 绝对值

绝对值 · 分类讨论

来源：陆同学 · 作业日期 10-06 · 原题 Day 6 四3

已知 |a| = 5，|b| = 2，且 |a − b| = b − a。

求 a + b 的所有可能值。

答案
a + b = −3 或 −7

图解

−6−5−4−3−2−1012345637a = −5b = −2b = 2
a 在 b 的左边（a ≤ b），b − a 才是非负的距离。
abb − a|a − b|相等？a + b
52−33✗—
5−2−77✗—
−5277✓−3
−5−233✓−7
四种搭配逐个检验 |a − b| = b − a。

详解

  1. |a| = 5 ⟹ a = ±5；|b| = 2 ⟹ b = ±2。共 4 种搭配。
  2. |a−b| = b−a = −(a−b)，说明 a−b ≤ 0，即 a ≤ b（和第 06 题“|a| = −a ⟹ a ≤ 0”是同一个套路）。
  3. a = 5 时，b = ±2 都比 5 小，不满足 a ≤ b，舍去；a = −5 时，b = 2 或 −2 都比 −5 大 ✓。
  4. a = −5,b = 2：a+b = −3；a = −5,b = −2：a+b = −7。

易错提醒

不能只取一个 b：b = 2 与 b = −2 都满足条件，所以答案有两个。关键是把 |a−b| = b−a 翻译成 a ≤ b。

21
有理数运算

有理数加减 · 去括号与绝对值

来源：孔同学 · 作业日期 09-02 · 原题 练习6第1题（1）

计算：

(−61)−(−71)−|−8|−(−2)

答案
4

图解

原式中的项怎么变化简后
(−61)前面没有符号，直接去括号−61
−(−71)减去负数 = 加上它的相反数+71
−|−8|先算 |−8| = 8，再减去−8
−(−2)减负 = 加正+2

详解

  1. 先化简绝对值：|−8| = 8。
  2. 去括号（括号前是减号，里面变号）：
    原式 = −61+71−8+2
  3. 正数和负数分开加：正数 71+2 = 73，负数 −61−8 = −69。
  4. 73+(−69) = 4。

易错提醒

“−|−8|”：绝对值先算出 8，前面的减号还在，结果是 −8（不是 +8）。

“−(−2)”是减去 −2，等于 +2。去括号时括号前是减号，里面的符号要变。

22
有理数运算

加减混合 · 去括号变号

来源：孔同学 · 作业日期 09-02 · 原题 练习6第1题（2）

计算：

8−(9−10)

答案
9

图解

做法过程结果
✓ 先算括号8−(−1) = 8+19
✓ 去括号并变号8−9+109
✗ 去括号忘变号8−9−10−11

详解

  1. 括号优先：9−10 = −1。
  2. 8−(−1) = 8+1 = 9。
  3. 另一种做法：括号前是“−”，去括号后括号里每一项都变号：8−9+10 = 9。

易错提醒

最典型的错误：去括号时只变了第一项的符号，写成 8−9−10 = −11。括号前是减号，括号里每一项都要变号。

23
有理数运算

代入求值 · 加减

来源：孔同学 · 作业日期 09-02 · 原题 练习6第3题

已知 a = −5，b = 3，c = −6。

求 a − b − c 的值。

答案
−2

图解

步骤算式
代入（负数带括号）(−5)−(3)−(−6)
去括号−5−3+6
计算−8+6 = −2

详解

  1. 代入时，负数要加括号：(−5)−3−(−6)。
  2. −(−6) = +6，所以 −5−3+6。
  3. −5−3 = −8，−8+6 = −2。

易错提醒

代入后不加括号，写成 −5−3−−6，符号会乱。“减去 c”，而 c 是 −6，所以结果里是 +6。

24
有理数运算

异号分数相加

来源：孔同学 · 作业日期 10-03 · 原题 10月1日·一·6

计算：

14+(−223)

答案
−2912（即 −2512）

图解

−3−2−101向左 2⅔¼−2 5/12
从 ¼ 出发向左走 2⅔，落在 −2 5/12。

详解

  1. 加上一个负数，就是减去它的相反数：14+(−223) = 14−223。
  2. 异号两数相加：取绝对值较大的数的符号（这里是负），再用大的绝对值减小的绝对值：223−14。
  3. 通分：2812−312 = 2512。
  4. 结果为负：−2512 = −2912。

易错提醒

异号加法：先定符号（看谁的绝对值大），再做减法。通分时 14 = 312，23 = 812。

25
有理数运算

加法运算律 · 凑整

来源：孔同学 · 作业日期 10-03 · 原题 10月1日·四·1

计算：

(−34)+(−8918)+(−512)+(+18)+(−0.75)

答案
−96

图解

−¾ 与 −0.75−89⅛ 与 +⅛−5½
同色的先凑：两个 −0.75 合成 −1.5；−89⅛ 与 +⅛ 抵消成 −89；−5½ 单独。

详解

  1. 先找“好朋友”：−34 = −0.75，两个 −0.75 合并：(−0.75)+(−0.75) = −1.5。
  2. (−8918)+(+18) = −89，分数部分正好抵消。
  3. −512 = −5.5。
  4. −1.5−89−5.5 = −96（−1.5 与 −5.5 凑成 −7，再 −7−89 = −96）。

易错提醒

分数和小数混在一起时，先统一成一种形式（这里 −34 = −0.75 最方便）。相同、相反、同分母的数先凑在一起，不要从头硬算。

26
有理数运算

乘法分配律 · 拆带分数

来源：孔同学 · 作业日期 10-04 · 原题 混合运算·14

计算：

292324 × (−12)

答案
−35912（= −359.5）

图解

292324 = 30−124↓(30−124) × (−12)↓−360+12↓−35912
靠近整数的带分数，拆成“整数 − 小分数”。

详解

  1. 观察：292324 离 30 只差 124，写成 30−124；而 12 和 24 又能约分。
  2. 乘法分配律：(30−124) × (−12) = 30 × (−12)−124 × (−12)。
  3.  = −360+12。
  4.  = −35912。

易错提醒

不要把带分数硬化成假分数 71924 再乘 12（能算对，但又慢又容易错）。拆成“整数 − 小分数”用分配律。

−12 要同时乘到两项上，符号别丢：−124 × (−12) = +12。

27
有理数运算

混合运算顺序 · 乘方、除法

来源：李同学 · 作业日期 10-05 · 原题 册034 第8题

计算：

−23 ÷ (49) × (16−13)

答案
3

图解

−23 = −8↓16−13 = −16↓−8 ÷ 49 = −18↓−18 × (−16) = 3
运算顺序：乘方 → 括号 → 乘除（从左到右）。

详解

  1. 乘方：−23 = −(2 × 2 × 2) = −8。括号：16−13 = −16。
  2. 原式  = −8 ÷ 49 × (−16)。
  3. 乘除同一级，从左往右：−8 ÷ 49 = −8 × 94 = −18。
  4. −18 × (−16) = 3。

易错提醒

乘除是同一级，必须从左往右算。若先算 49 × (−16) = −227，就变成 −8 ÷ (−227) = 108，结果错了。

除以一个数 = 乘它的倒数： ÷ 49 变成  × 94。

28
有理数运算

除以分数 · 乘法分配律

来源：李同学 · 作业日期 10-06 · 原题 练习1 第23题(3)

计算：

(12−23+49) ÷ (−136)

答案
−10

图解

项× (−36)结果
1212 × (−36)−18
−23−23 × (−36)+24
4949 × (−36)−16
合计−10

详解

  1. 除以 −136 等于乘它的倒数 −36：原式  = (12−23+49) × (−36)。
  2. 乘法分配律：12 × (−36) = −18；−23 × (−36) = +24；49 × (−36) = −16。
  3. −18+24−16 = −10。
  4. 校验（通分）：918−1218+818 = 518，518 × (−36) = −10 ✓。

易错提醒

能用分配律的是“括号 ÷ 数”（先变成乘倒数再分配）；反过来“数 ÷ 括号”不能把括号拆开。本题是括号 ÷ 数，可以。

别忘了倒数的符号：−136 的倒数是 −36。

29
有理数运算

多重括号 · 加减混合

来源：姚同学 · 作业日期 10-01 · 原题 草稿2

计算：

(−478)−[−(−512)+(−14)−(+318)]

答案
−7

图解

括号内三项去符号↓512−14−318 = 218↓−478−218↓ = −7
由内向外：先把中括号化成一个数。

详解

  1. 先看中括号里三项：−(−512) = +512；+(−14) = −14；−(+318) = −318。
  2. 中括号里  = 512−14−318：整数部分 5−3 = 2，分数部分 48−28−18 = 18，合起来 218。
  3. 原式  = −478−218，同号相加：−(478+218) = −7。

易错提醒

方括号前面是减号：先把整个中括号的值求出来再减去，或者去中括号时里面每项都变号。两种都行，别只改一部分。

多重括号由内向外，一层一层处理。

30
有理数运算

乘法与加减混合

来源：姚同学 · 作业日期 10-03 · 原题 Day 3三5

计算：

(−3) × (−4)−(−2) × 5+(−6) × (−12)

答案
25

图解

项乘积代回后
(−3) × (−4)同号得正：12+12
−(−2) × 5(−2) × 5 = −10，前面再减去+10
(−6) × (−12)同号得正：3+3
合计25

详解

  1. 先乘除后加减，先算三个乘积：(−3) × (−4) = 12；(−2) × 5 = −10；(−6) × (−12) = 3。
  2. 代回原式：12−(−10)+3 = 12+10+3。
  3.  = 25。

易错提醒

第二项前面有个减号：−(−2) × 5 = −(−10) = +10，这个减号容易被忽略。乘法要先算，别从左往右一路“加减”。

31
正负数应用

正负数表示 · 与标准比较

来源：孔同学 · 作业日期 09-01 · 原题 第3题（3）

跳远比赛以 1.70 m 为标准。小丽第一跳跳了 1.50 m，

记作 −0.20 m；第二跳比第一跳多跳了 0.45 m。

第二跳应记作多少米？

答案
+0.25 m（第二跳实际 1.95 m）

图解

1.501.701.95+0.45第一跳 −0.20标准 0第二跳 +0.25
单位：m。红点比标准少 0.20，绿点比标准多 0.25。

详解

  1. 记法：比标准多记“+”，比标准少记“−”。−0.20 表示 1.70−0.20 = 1.50 m ✓。
  2. 第二跳实际：1.50+0.45 = 1.95 m。
  3. 与标准比较：1.95−1.70 = +0.25，应记作 +0.25 m。
  4. 直接用记录值算也行：−0.20+0.45 = +0.25 m。

易错提醒

题目问“记作”，要写与标准的差（+0.25），不是实际长度 1.95，也不是 0.45。

“多跳了 0.45 m”是相对第一跳，不是相对标准。

32
正负数应用

正负数表示 · 由记录求实际值

来源：李同学 · 作业日期 10-04 · 原题 一、第6题

以每天睡眠 8 h 为标准，某同学的睡眠记录为 −1.5 h。

该同学实际睡眠了多少小时？

答案
6.5 h

图解

66.577.58记录 −1.5实际 6.5标准 8
单位：h。实际比标准少 1.5 h。

详解

  1. 记录值 = 实际值 − 标准值，所以 实际值 = 标准值 + 记录值。
  2. 8+(−1.5) = 6.5（h）。

易错提醒

“−”表示比标准少，实际是 8−1.5 = 6.5，不是 8+1.5 = 9.5。

读清题目是求“记录”还是求“实际”：求记录用 实际 − 标准，求实际用 标准 + 记录。

33
正负数应用

偏差 · 合格范围

来源：李同学 · 作业日期 10-04 · 原题 三、第2题(1)

零件的标准直径为 30 mm，

上偏差为 +0.02 mm，下偏差为 −0.03 mm。

写出合格零件直径的范围（含端点）。

答案
29.97 mm ≤ 直径 ≤ 30.02 mm

图解

29.973030.02最小 29.97标准 30最大 30.02
单位：mm。绿色是合格范围，两端都能取。

详解

  1. 最大允许值 = 标准 + 上偏差  = 30+0.02 = 30.02 mm。
  2. 最小允许值 = 标准 + 下偏差  = 30+(−0.03) = 29.97 mm。
  3. 合格范围（含端点）：29.97 ≤ d ≤ 30.02（单位 mm）。

易错提醒

下偏差是负数，要加 (−0.03)，得 29.97，别写成 29.7 或 30.03。

不等号：小的在左、大的在右，含端点用“≤”。

34
正负数应用

分段计费

来源：陆同学 · 作业日期 09-10 · 原题 1.1 技能训练第5题

某地水费规定：每月用水不超过 10 t，按 2.2 元/t 收费；

超过 10 t 的部分，每吨加收 1.3 元。

小明家 4 月用水 15 t，应缴多少元水费？

答案
39.5 元

图解

用水量
前 10 t超出 5 t
单价
2.2 元/t3.5 元/t
水费
22 元17.5 元
蓝色是前 10 t，橙色是超出部分；两段水费相加得 39.5 元。

详解

  1. 前 10 t：10 × 2.2 = 22（元）。
  2. 超出部分：15−10 = 5（t）。
  3. 超出部分单价：2.2+1.3 = 3.5（元/t），5 × 3.5 = 17.5（元）。
  4. 合计：22+17.5 = 39.5（元）。
  5. 另一种算法：15 × 2.2+5 × 1.3 = 33+6.5 = 39.5 ✓。

易错提醒

“加收 1.3 元”是在原价 2.2 的基础上再加，所以超出部分每吨 3.5 元。

两个常见错误：① 超出部分每吨只按 1.3 算；② 15 t 全部按 3.5 算（得 52.5）。分段计费，哪一段用哪一个价。

35
正负数应用

正负数表示 · 温度升降

来源：陆同学 · 作业日期 09-16 · 原题 第1题

保鲜室的温度为零上 5 ℃，记作 +5 ℃。

冷藏室的温度比保鲜室低 8 ℃，应记作多少摄氏度？

答案
−3 ℃（零下 3 ℃）

图解

−5−4−3−2−1012345678910零上零下保鲜室 +5 ℃冷藏室 −3 ℃降 8 ℃
从 +5 ℃ 往下数 8 格，越过 0 ℃，落在零下 3 ℃。

详解

  1. 零上为正，零下为负，保鲜室是 +5 ℃。
  2. “低 8 ℃”对应减法：5−8 = −3（℃）。
  3. 记作 −3 ℃，表示零下 3 ℃。

易错提醒

5−8 的结果是负数，说明已经降到 0 ℃ 以下，不要写成 3 ℃。

“低”对应减，“高”对应加。

36
正负数应用

偏差 · 合格范围

来源：姚同学 · 作业日期 09-04 · 原题 第11题（1）

一批轴的标准直径为 45 mm，

上偏差为 +0.03 mm，下偏差为 −0.04 mm。

求这批轴的合格直径范围。

答案
44.96 mm ≤ 直径 ≤ 45.03 mm

图解

44.964545.03最小 44.96标准 45最大 45.03
单位：mm。绿色是合格范围，宽度 0.07。

详解

  1. 最大允许值  = 45+0.03 = 45.03 mm。
  2. 最小允许值  = 45+(−0.04) = 44.96 mm。
  3. 合格范围：44.96 ≤ d ≤ 45.03（单位 mm）。

易错提醒

同第 33 题：下偏差是负数，要用 45+(−0.04) = 44.96。

自检：合格范围的宽度  = 0.03+0.04 = 0.07 mm（两个偏差的绝对值相加）。

37
正负数应用

以水面为基准的位置 · 多余条件

来源：姚同学 · 作业日期 10-03 · 原题 分类卷三1(1)头顶

跳台高出水面 8 m，运动员身高 1.6 m，池深 4.5 m。

规定向上为正，运动员站在跳台上。

以水面为基准，运动员头顶的位置应表示为多少米？

答案
+9.6 m

图解

池深 4.5 m（在水面以下，本题不需要）跳台身高 1.6 m头顶 +9.6台面 +8水面 0池底 −4.5
向上为正：以水面为 0，台面 +8，再加身高 1.6，头顶在 +9.6 m。

详解

  1. 以水面为 0，向上为正：跳台面在 +8 m。
  2. 运动员站在跳台上，头顶比台面再高 1.6 m：8+1.6 = 9.6 m。
  3. 池深 4.5 m 在水面以下（对应 −4.5 m），与头顶的位置无关，是多余条件。

易错提醒

题目里常夹带多余条件：池深 4.5 m 只和池底的位置（−4.5 m）有关。别把 4.5 也加减进去（8+1.6−4.5 = 5.1 ✗）。

38
正负数应用

行程记录 · 方向与距离

来源：姚同学 · 作业日期 10-04 · 原题 第46题(1)

巡逻车从岗亭 A 出发，规定向东为正。

8 次行驶记录（单位：km）依次为：

+8、−9、+4、−7、+2、−10、+11、−3。

最后一次行驶结束时，巡逻车在 A 的什么方向？

距离 A 多远？

答案
在 A 的正西方（西侧），距离 A 4 km

图解

−12−8−4048A（0）终点（−4）1+82−93+44−75+26−107+118−3
蓝色向东、橙色向西，左边数字是第几次。8 次走完停在 A 西侧 4 km。
次数12345678
记录+8−9+4−7+2−10+11−3
所在位置8−13−4−2−12−1−4
“所在位置”是前几次记录的累计和；第 8 次后位置是 −4。

详解

  1. 向东为正、向西为负，把 8 个数相加就是最终位置：(+8)+(−9)+(+4)+(−7)+(+2)+(−10)+(+11)+(−3)。
  2. 正数的和：8+4+2+11 = 25；负数的和：−9−7−10−3 = −29。
  3. 25+(−29) = −4。
  4. 结果为负：在 A 的西边；距离是 |−4| = 4 km。

易错提醒

“距离 A 多远”是终点到 A 的直线距离，等于和的绝对值 4 km；不是所有行驶路程的总和（那是 8+9+4+7+2+10+11+3 = 54 km）。

题目若问“共行驶多少路程”，才用各次绝对值相加。

39
有理数运算

带分数加减 · 整数部分、分数部分分开算

来源：孔同学 · 作业日期 10-03 · 原题 10月1日·三·4

计算：

|−12|+416+(−5.25)+(−225)

答案
−25960（即 −17960）

图解

项整数部分分数部分
|−12|0+12
416+4+16
−5.25 = −514−5−14
−225−2−25
合计−3160
整数部分、分数部分分开算，最后合并。

详解

  1. 先化简：|−12| = 12；−5.25 = −514。
  2. 整数部分合计：0+4+(−5)+(−2) = −3。
  3. 分数部分合计（通分到 60）：12+16−14−25 = 3060+1060−1560−2460 = 160。
  4. 总和：−3+160 = −25960。

易错提醒

负的带分数 −514、−225 拆开时，整数部分和分数部分都带负号，不能只给整数部分加负号。

合理性检查：−3+160 比 −3 稍大一点，结果是 −25960，在 −3 与 −2 之间 ✓。

40
有理数运算

带分数加减 · 整数部分、分数部分分开算

来源：孔同学 · 作业日期 10-03 · 原题 10月1日·三·5

计算：

(−88110)+16612+(−7715)+(−1013)

答案
−9215

图解

项整数部分分数部分
−88110−88−110
+16612+166+12
−7715−77−15
−1013−10−13
合计−9−215

详解

  1. 整数部分：−88+166−77−10 = −9。
  2. 分数部分：−110+12−15−13，通分到 30：−330+1530−630−1030 = −430 = −215。
  3. 合计：−9+(−215) = −9215。

易错提醒

两部分合并时看符号：整数部分 −9 与分数部分 −215 同为负，直接合成 −9215。

每个带分数的负号管整个数：−88110 里，−88 与 −110 都是负的。

41
有理数运算

加法运算律 · 小数、分数混合

来源：孔同学 · 作业日期 10-03 · 原题 10月1日·四·2

计算：

(−314)+2.75+(−156)+413+(−23)

答案
113（即 43）

图解

(−3¼) + 2.75 = −½4⅓ + (−⅔) = 3⅔(−1⅚)
同色先算，再把三块合并：−½ − 1⅚ + 3⅔ = 1⅓。

详解

  1. 分组一：(−314)+2.75 = −3.25+2.75 = −12。
  2. 分组二：413+(−23) = 413−23 = 323。
  3. 合并三项：−12+(−156)+323。整数部分 0−1+3 = 2；分数部分 −36−56+46 = −46 = −23。
  4. 2+(−23) = 113。

易错提醒

小数和分数混合时，先找能“凑整”的一对：2.75 = 234，与 −314 配成 −0.5 最方便。

413−23 不够减分数部分时，要借位：413 = 343。

42
有理数运算

去括号 · 双重括号的加减

来源：孔同学 · 作业日期 10-03 · 原题 10月2日·四·3

计算：

−312−(−216)+(−1.75)−[−(+23)+0.25]

答案
−223（即 −83）

图解

去小括号↓中括号：+23−0.25↓−3.5−1.75−0.25 = −5.5↓216+23 = 256↓−5.5+256 = −223
先去括号，再把同类的数分组。

详解

  1. 去小括号：−(−216) = +216；+(−1.75) = −1.75。
  2. 中括号：−[−(+23)+0.25] = −[−23+0.25] = +23−0.25（括号前是减号，里面每项变号）。
  3. 原式  = −312+216−1.75+23−0.25。
  4. 分组：(−3.5−1.75−0.25)+(216+23) = −5.5+256。
  5. −512+256 = −(536−256) = −246 = −223。

易错提醒

“−(+23)”：+ 号不变、减号变号，得 −23；整个中括号前又是减号，要再变一次号。

双重括号由内向外，一层一层处理，每层都检查符号。

43
有理数运算

绝对值与带分数乘法

来源：孔同学 · 作业日期 10-04 · 原题 10月3日·二·1

计算：

|−313| × |−34|

答案
52（即 212）

图解

|−313| = 103↓|−34| = 34↓103 × 34 = 52
先去绝对值，再化假分数，最后约分相乘。

详解

  1. 先化简绝对值：|−313| = 313 = 103；|−34| = 34。
  2. 相乘，先约分：103 × 34，3 与 3 约去，10 与 4 约去 2，得 52。
  3.  = 212。

易错提醒

带分数乘分数，先化成假分数再乘。

两个绝对值都是正数，乘积一定是正的。

44
有理数运算

乘法分配律 · 多项

来源：孔同学 · 作业日期 10-04 · 原题 10月3日·三·4

计算：

(−12+13−14−15) × (−20)

答案
373（即 1213）

图解

项× (−20)结果
−12−12 × (−20)+10
+1313 × (−20)−203
−14−14 × (−20)+5
−15−15 × (−20)+4
合计373

详解

  1. −20 与分母 2、4、5 都能约，用乘法分配律。
  2. 逐项：−12 × (−20) = 10；13 × (−20) = −203；−14 × (−20) = 5；−15 × (−20) = 4。
  3. 合计：10−203+5+4 = 19−203 = 573−203 = 373 = 1213。
  4. 校验：括号通分得 −3760，乘 −20 得 373 ✓。

易错提醒

分配律每一项都要乘到：4 项就是 4 个乘积，别漏。

符号：负×负=正，所以 +10、+5、+4，只有 13 这项是负的。最后别留“19−203”，要化成一个数。

45
有理数运算

乘法分配律 · 凑整

来源：李同学 · 作业日期 10-03 · 原题 Day3 三、乘法混合运算第3题

计算：

(−991516) × 8

答案
−79912（= −799.5）

图解

991516 = 100−116↓(−100+116) × 8↓−800+12↓−79912
凑整：99 15/16 差 1/16 就是 100。

详解

  1. 991516 = 100−116，所以 −991516 = −100+116。
  2. 分配律：(−100+116) × 8 = −800+816。
  3.  = −800+12 = −79912。

易错提醒

去括号要变号：−(100−116) = −100+116；写成 −100−116 就错了。

和第 26 题同一思路：靠近整数的带分数，拆成“整数 − 小分数”。

46
有理数运算

加法运算律 · 同分母凑整

来源：陆同学 · 作业日期 09-15 · 原题 知识理解3

计算：

59+(−17)+(−19)+(−67)

答案
−59

图解

5/9−1/9−1/7−6/7
同色同分母，先凑：蓝色合成 4/9，绿色合成 −1。

详解

  1. 分母 9 的放一起，分母 7 的放一起（加法交换律、结合律）。
  2. 59+(−19) = 49。
  3. (−17)+(−67) = −77 = −1。
  4. 49+(−1) = −59。

易错提醒

不要一上来通分到 63（能做但很慢）。同分母、能凑整的先结合：−17 与 −67 凑成 −1 是关键。

47
规律 · 进制

数列规律 · 平方与符号

来源：孔同学 · 作业日期 09-02 · 原题 第10题（1）

观察下列数列的规律，求第 13 个数：

0，1，−4，9，−16，25，…

答案
−144

图解

序号 n123456…13
绝对值 (n−1)²01491625…144
符号—+−+−+…−
这个数01−49−1625…−144
先看绝对值，再看符号。

详解

  1. 看绝对值：0,1,4,9,16,25 就是 02,12,22,32,42,52，第 n 个数的绝对值是 (n−1)2。
  2. 看符号：从第 2 个起，偶数项为正、奇数项为负。
  3. 所以第 n 项  = (−1)n(n−1)2。
  4. 第 13 项：13 是奇数，取负：−(13−1)2 = −122 = −144。

易错提醒

绝对值是 (n−1)2，不是 n2：数列的第一个数是 0 而不是 1。所以第 13 个是 122 = 144，不是 132 = 169。

符号靠奇偶：奇数项负、偶数项正（第 1 项是 0，没有符号）。

48
规律 · 进制

进制转换：八进制 → 十进制

来源：李同学 · 作业日期 10-05 · 原题 册035 第12题(2)

将八进制数 2507 转换为十进制数。

答案
1351

图解

数位千位百位十位个位
位权83 = 51282 = 6481 = 880 = 1
数字2507
乘积102432007
1024 + 320 + 0 + 7 = 1351。

详解

  1. 八进制“逢八进一”，从右往左各数位的权依次是 80,81,82,83，即 1、8、64、512。
  2. 每位数字乘以它的权，再相加：2 × 83+5 × 82+0 × 81+7 × 80。
  3.  = 2 × 512+5 × 64+0+7 = 1024+320+7 = 1351。

易错提醒

位权从最右边的 80 = 1 开始（不是 81）。

数字 0 那一位乘积是 0，但这一位不能省略，否则位权会错位。八进制里不会出现数字 8 和 9。

49
规律 · 进制

数列规律 · 分数

来源：姚同学 · 作业日期 10-03 · 原题 数列卷三2后面第1个数

观察下列数列的规律，写出后面的第一个数：

12，−36，512，−720，…

答案
930（即 310）

图解

n12345
分子 2n−113579
分母 n(n+1)26122030
符号+−+−+
这个数12−36512−720930

详解

  1. 分子：1, 3, 5, 7 —— 连续奇数，第 n 项分子是 2n−1，第 5 项是 9。
  2. 分母：2, 6, 12, 20  = 1 × 2, 2 × 3, 3 × 4, 4 × 5，第 n 项分母是 n(n+1)，第 5 项是 5 × 6 = 30。
  3. 符号：奇数项为正、偶数项为负，第 5 项为正。
  4. 第 5 项  = +930（约分后是 310）。

易错提醒

第 2 项 −36 其实可以约成 −12，但找规律时先别约分：保持原样才看得出“分子 3、分母 2 × 3”。

50
规律 · 进制

数列规律 · 分数（数第几个）

来源：姚同学 · 作业日期 10-04 · 原题 第31题

观察下列数列的规律，

求紧接着 −4/17 后面的第二个数：

12，−25，310，−417，…

答案
−637

图解

n123456
分子 n123456
分母 n²+12510172637
符号+−+−+−
位置已给第1个第2个 ✓
−6/37 是答案。

详解

  1. 分子依次是 1, 2, 3, 4 …，第 n 项分子是 n。
  2. 分母：2, 5, 10, 17  = 12+1, 22+1, 32+1, 42+1，第 n 项分母是 n2+1。
  3. 符号：奇数项正、偶数项负。
  4. −417 是第 4 项。它后面的第一个数是第 5 项 +526，第二个数是第 6 项：−637（62+1 = 37，偶数项为负）。

易错提醒

审题：求的是“后面第二个”，也就是第 6 项，不是紧跟着的第 5 项 526。先数清楚位置，再代公式。

方法速查 · 讲评时可直接口述

  1. 0 的归属：0 是整数，既不是正数也不是负数。非负数＝正数和 0；非正数＝负数和 0。
  2. “等于它本身”四连：相反数等于它本身 → 0；倒数等于它本身 → 1 和 −1；绝对值等于它本身 → 非负数；|a| = −a → a ≤ 0。
  3. a|a| 只看符号：正数得 1，负数得 −1。乘积为正 ⟺ 负因数个数是偶数。
  4. 距离读法：|x−a| ＝ 数轴上 x 到 a 的距离，|x+1| 要先改写成 |x−(−1)|。
  5. 两个绝对值之和 |x−a|+|x−b|：最小值 |a−b|，在 a、b 之间（含端点）取到。差 |x−a|−|x−b| 的范围是 −|a−b| 到 |a−b|。
  6. 多个点的距离之和最小：奇数个点取正中间的点；偶数个点取中间两点之间。
  7. 去括号：括号前是“−”，里面每一项都变号；多重括号由内向外，每层查符号。
  8. 乘除同级从左到右；除以一个数＝乘它的倒数；“括号 ÷ 数”可以用分配律，“数 ÷ 括号”不行。
  9. 凑整、凑同分母：靠近整数的带分数拆成“整数 − 小分数”；带分数加减可整数部分、分数部分分开算。
  10. 偏差题：合格范围 ＝ 标准＋下偏差 ～ 标准＋上偏差，下偏差是负数；“低/少”对应减，“高/多”对应加。
  11. 数列规律：分子、分母、符号分别找，用序号 n 写通项，再数清题目要的是第几个。

答案均经逐题复算 · 点右下角 ↑ 回到顶部